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随机变量概述

Hirsun,Belter大约 9 分钟

随机变量概述

对随机变量及其取值规律的研究是概率论的核心内容。

随机变量与事件

随机变量的本质是一种函数(映射关系),在古典概率模型中,“事件和事件的概率”是核心概念;但是在现代概率论中,“随机变量及其取值规律”是核心概念。

随机变量实际上只是事件的另一种表达方式,这种表达方式更加形式化和符号化,也更加便于理解以及进行逻辑运算。不同的事件,其实就是随机变量不同取值的组合。在陈希孺的书中,举了一个很好的例子来说明两者之间的差别:

对于随机试验,我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量。当然,有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件。

例如,在特定一群人中,年收入在万元以上的高收入者,以及年收入在3000元以下的低收入者,各自的比率如何?这看上去像是两个孤立的事件。可是,若我们引入一个随机变量X:

X = 随机抽出一个人其年收入

则X是我们关心的随机变量。

上述两个事件可分别表示为 {X>10000} 或 {X<3000} 。这就看出:随机事件这个概念实际上包容在随机变量这个更广的概念之内。也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,一如数学分析中的常量与变量的区分那样,变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样,概率论能从计算一些孤立事件的概率发展为一个更高的理论体系,其基本概念就是随机变量。

随机变量的分类

随机变量从其可能取的值全体的性质可以分为两大类:离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量

离散型随机变量的取值在整个实数轴上是间隔的,要么只有有限个取值,要么是无限可数的。

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常见的离散型随机变量包括以下几种:

  • 0-1分布(也叫两点分布或伯努利分布)
  • 二项分布
  • 几何分布
  • 泊松分布
  • 超几何分布

连续型随机变量

连续型随机变量的取值要么包括整个实数集 (−∞,+∞) ,要么在一个区间内连续,总之这类随机变量的可能取值要比离散型随机变量的取值多得多,它们的个数是无限不可数的。

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图:连续型随机变量的概率密度分布函数

常见的连续型随机变量包括以下几种:

  • 均匀分布
  • 指数分布
  • 正态分布

概率密度函数的性质

所有的概率密度函数f(x)f(x)都满足下面的两条性质; 所有满足下面两条性质的一元函数也都可以作为概率密度函数。

f(x)≥0 以及 +f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1