随机变量概述
随机变量概述
对随机变量及其取值规律的研究是概率论的核心内容。
随机变量与事件
随机变量的本质是一种函数（映射关系），在古典概率模型中，“事件和事件的概率”是核心概念；但是在现代概率论中，“随机变量及其取值规律”是核心概念。
随机变量实际上只是事件的另一种表达方式，这种表达方式更加形式化和符号化，也更加便于理解以及进行逻辑运算。不同的事件，其实就是随机变量不同取值的组合。在陈希孺的书中，举了一个很好的例子来说明两者之间的差别：
对于随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件。
例如，在特定一群人中，年收入在万元以上的高收入者，以及年收入在3000元以下的低收入者，各自的比率如何？这看上去像是两个孤立的事件。可是，若我们引入一个随机变量X：
X = 随机抽出一个人其年收入
则X是我们关心的随机变量。
上述两个事件可分别表示为 {X>10000} 或 {X<3000} 。这就看出：随机事件这个概念实际上包容在随机变量这个更广的概念之内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从计算一些孤立事件的概率发展为一个更高的理论体系，其基本概念就是随机变量。
随机变量的分类
随机变量从其可能取的值全体的性质可以分为两大类：离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量
离散型随机变量的取值在整个实数轴上是间隔的，要么只有有限个取值，要么是无限可数的。
常见的离散型随机变量包括以下几种：
- 0-1分布（也叫两点分布或伯努利分布）
- 二项分布
- 几何分布
- 泊松分布
- 超几何分布
连续型随机变量
连续型随机变量的取值要么包括整个实数集 (−∞,+∞) ，要么在一个区间内连续，总之这类随机变量的可能取值要比离散型随机变量的取值多得多，它们的个数是无限不可数的。
图：连续型随机变量的概率密度分布函数
常见的连续型随机变量包括以下几种：
- 均匀分布
- 指数分布
- 正态分布
概率密度函数的性质
所有的概率密度函数f(x)f(x)都满足下面的两条性质； 所有满足下面两条性质的一元函数也都可以作为概率密度函数。
f(x)≥0 以及